Como determinar o volume de uma calota esférica usando cálculo

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Instruções
Escrevendo a integral
Resolvendo a integral
O que você precisa

A abordagem geral do cálculo ao determinar volumes de objetos com superfícies curvas é baseada na teoria principal da integração. Em essência, divide-se o objeto tridimensional em fatias muito pequenas e aproxima-se o volume de cada uma dessas fatias utilizando uma forma mais simples. Para encontrar o volume de uma calota esférica, a formulação mais fácil é imaginar uma pilha de largos e curtos cilindros uns sobre os outros. O volume é calculado tomando a altura de cada um desses cilindros tendendo a zero, gerando aproximações cada vez mais precisas.

Instruções

Os telhados abobadados de muitos edifícios são aproximações de calotas esféricas (Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images)

Escrevendo a integral

Determine o diâmetro ou o raio de sua calota esférica em sua parte mais larga.
Determine a altura da calota.
Eleve os números dos Passos 1 e 2 ao quadrado e some-os. Divida esse número por duas vezes o número encontrado no Passo 2. Isso lhe dá R, o raio da esfera da qual a calota foi cortada.
Escreva "V = ", seguido pelo símbolo de integração.
Subtraia o número encontrado no Passo 2 de R e escreva esse valor na base do símbolo de integração.
Escreva o valor de R no topo do símbolo de integração.
Escreva pi, seguido por parênteses, após o símbolo de integração.
Eleve o valor de R ao quadrado e escreva-o dentro dos parênteses, seguido por um símbolo de subtração.
Escreva "x^2" após o símbolo de subtração. Após os parênteses, termine de escrever a integral com "dx".

Resolvendo a integral

Multiplique pi pelos valores entre parênteses, resultando em pi*x^2 subtraído de uma constante.
Calcule o primeiro termo da integral multiplicando a constante pela altura da calota esférica (R - a, os dois limites da integral), e mova-o para fora da integral. A equação deverá agora possui a forma "V = C(R - a) -- [integral definida de a até R] pi*x^2 dx", onde C é o quadrado de R vezes pi, e a é R menos a altura da calota esférica.
O restante da integral resulta em 1/3pi(R^3) - 1/3pi(a^3). Assim, a fórmula final para o volume de uma calota esférica é V = C(R - a) - 1/3pi(R^3) + 1/3pi(a^3), com C e a descritos no Passo 2 e R descrito no Passo 3 da sessão anterior.
Substituir R menos a altura da calota (h) por a, calcular os cubos e simplificar os cálculos resultará em V = 1/3pih^2*(3R - h), a fórmula algébrica padrão para o volume de uma calota esférica.